پادشاه چین و وزیر منطقی و ریاضیدان
وزیری در دربار چین معروف به آدم منطقی و راستگو بود. او معتقد بود که همیشه راستگویی برنده کارزار بین انسانهاست. درباریان حسود نزد پادشاه شِکوه کردند که پادشاه همیشه حرف وزیر را گوش می کند.
آن قدر گفتند تا پادشاه بر وزیر خود خشم گرفت و خواست او را بکشد. به وزیر گفت اگر راست گو هستی حرفی بزن تا تو را از مرگ برهاند.
پس به وی چنین گفت: "دستور می دهم یا به چوبه دار آویخته شوی یا با تبر گردنت را بزنند. حال خود بگو با کدام یک از این دو وسیله کشته میشوی؟ اگر راست بگویی با تبر گردنت را می زنند و اگر دروغ بگویی به دار آویخته خواهی شد."
وزیر که منطق دان بود در پاسخ جمله ای بیان کرد که نتوانستند هیچ یک از دو حکم را اجرا کنند.
این جمله چه بود؟
وزیر جمله ای را بیان کرد که تعارض پدید آورد ، یعنی گزاره ای که خود را نفی کند. وی در پاسخ گفت: "مرا به دار خواهید آویخت" .
حال اگر این جمله را راست قبول کنند باید با تبر گردنش را بزنند که در این صورت جمله او دروغ است و باید به دار آویخته شود اما در این صورت راست گفته و... به همین ترتیب اگر جمله وزیر را دروغ قبول کنند باز به تعارض بر می خورند.
و به این ترتیب پادشاه از کشتن او صرفنظر کرد.
تقسیم هفده شتر
این داستان (البته اگر صحت داشته باشد) از داستانهای جنجالی است. به همین دلیل قبل از شروع ، باید توضیح داد!
شراکتی که در این داستان مطرح می شود از اساس دارای اشکال است و خواننده ایی که کمی ریاضیات می داند به درستی متوجه اشکال آن نیز خواهد شد و به همین دلیل هم حضرت علی(ع) متوجه اشکال شراکت آنها شده و برای اینکه به مردم عوام آن دوره موضوع را تفهیم کند راه حلی ابتکاری و جالب ارائه کرده. ضمنا این موضوع را هم در نظر داشته باشید که بالاخره مسئله ایی اتفاق افتاده و باید حل شود! و قطعا حل این مسئله با این روش، به معنی تایید کامل آن از طرف حضرت علی(ع) نیست ولی مهم آن است که آنها با رضایت از تقسیم ، از پیش ایشان بیرون رفته اند، چرا که شرطی برای تقسیم گذاشته بودند.
و توضیح آخر اینکه شما لطفا از دید ریاضی به این داستان نگاه کنید!
در عصر خلافت حضرت علی (ع) سه نفر به طور مشترک مالک هفده شتر بودند. یکی از آنها مالک نصف آنها بود و دومی صاحب ثلث آنها و سومی صاحب یک نهم آنها بود و می خواستند به گونه ای تقسیم کنند که هیچ کدام از شترها کشته نشود.
برای این کار راهی نیافتند. لذا به حضور امام علی (ع) آمدند و موضوع را بازگو کردند. آن حضرت برای رفع نزاع آنها یک شتر از شتران خود را بر آنها افزود، هجده شتر شدند. نصف آنها (نه شتر) را به صاحب نصف، ثلث آنها (شش شتر) را به صاحب ثلث و یک نهم آنها (دو شتر) را به صاحب یک نهم داد. به این ترتیب علی (ع) هفده شتر را بین آنها تقسیم کرد و شتر خود را برداشت و به بیت المال برگرداند و آنها راضی از محضر علی (ع) بیرون آمدند.
دوچرخه های ارزان
روزی، پدری به پسرش قول داد كه اگر در درس ریاضی نمره‌ی 20 بگیرد، برایش یك دوچرخه می‌خرد. پسر با اشتیاق زیاد تلاش كرد و بالاخره 20 گرفت. با خوشحالی نمره را به پدرش نشان داد و از او خواست تا به قولی كه داده بود، عمل كند. امّا پدر كه فكر نمی‌كرد پسرش نمره‌ی 20 بگیرد ، پول كافی برای خرید دوچرخه كنار نگذاشته بود و به پسرش گفت: من فقط 10 هزار تومان پول دارم و باید كمی صبر كنی تا بتوانم پول دوچرخه را تهیه كنم. پسر با ناراحتی به دنبال راه حلی می‌گشت تا پدرش زودتر بتواند دوچرخه را تهیه كند.
روزی در یكی از آگهی‌های تبلیغاتی این مطلب را دید: «دوچرخه با 10 هزار تومان، فقط با پرداخت 10 هزار تومان صاحب یك دوچرخه شوید». با خوشحالی آن را به پدرش نشان داد.
پدر بعد از خواندن آگهی لبخندی زد و گفت: «از این نوع آگهی‌ها قبلاً خوانده‌ام. كم نیستند كسانی كه فریب این تبلیغ‌ها را می‌خورند.»
پسر پرسید: چرا فریب؟
پدر جواب داد: شرایط این آگهی‌ها به این صورت است كه: ما 10 هزار تومان به مؤسسه پرداخت می‌كنیم. امّا آنها در ابتدا برای ما دوچرخه نمی‌فرستند بلكه 4 بلیط به ما می‌دهند كه باید هر كدام را به قیمت 10 هزار تومان به دیگران بفروشیم و به این ترتیب 40 هزار تومان دیگر جمع كنیم و به مؤسسه تحویل دهیم. بعد از این كار دوچرخه را برای ما می‌فرستند.
شرط دیگری كه موسسه برای فعالیت خود گذاشته ، این است كه هر شخصی با ارائه ی یك بلیط می تواند 5 بلیط برای فروش از موسسه دریافت كند كه می بایست به 5 نفر بفروشد .
پسر گفت: «خُب، مگر چه اشكالی دارد. ما فقط 10 هزار تومان پرداخت می‌كنیم و فروش بلیط ها هم زحمت زیادی ندارد».
پدر گفت: بله، در نگاه اوّل هیچ‌گونه نیرنگی به چشم نمی‌خورد و دوچرخه برای خریدار تنها 10 هزار تومان تمام می‌شود. ولی در حقیقت، همه ی این بازی‌ها بدون تردید یك تقلّب و حقّه‌بازی است. چون پس از مدّتی زمان آن می‌رسد كه دارندگان بلیط نمی توانند برای بلیط های خود مشتری پیدا كنند .
پدر ادامه داد : ببین پسرم ! اولین دسته ی خریدار كه بلیط های خود را به طور مستقیم از مؤسسه می‌گیرند، تقریباً بدون هیچ زحمتی برای بلیط های خود 4 خریدار پیدا می‌كنند. هر یك از این 4 نفر نیز باید 5 خریدار برای بلیط های خود پیدا كند و آنها را متقاعد كند كه این خرید برای آنها سودآور است. فرض می‌كنیم دسته‌ی دوّم نیز موفّق شده و 20 خریدار برای بلیط های خود پیدا می‌كنند. این 20 خریدار باید پس از ارائه ی بلیط های خود به موسسه و تحویل گرفتن 5 بلیط در عوض هر بلیط ،بلیط های خود را به 100 نفر بفروشند. تا به حال فقط 25 نفر توانسته اند دوچرخه‌های خود را دریافت كنند. [چرا؟]
می‌بینیم كه در مرحله‌ی هشتم، 62500 نفر و در مجموع 78125 نفر وارد بازی می شوند ولی تنها 15625 نفر آنها دوچرخه دریافت می‌كنند[چرا؟]
و بقیه كسانی هستند كه در دست خود بلیط هایی دارند كه نمی‌دانند آنها را به چه كسانی بفروشند.
اگر فرض كنیم در یك شهر پرجمعیت زندگی می‌كنیم و مدت زمانی كه همه وارد این بازی شوند، بیش تر است. ولی در نهایت، همه‌ی شهر و یا همه‌ی یك كشور را فرا میگیرد. اگر باز هم ادامه دهیم در مرحله‌ی دوازدهم به عدد 39062500 می‌رسیم ، پس در مجموع تا این مرحله 48828125 نفر وارد این بازی می شوند كه برابر جمعیت یك كشور بزرگ است .
مؤسسه مردم را وادار به پرداخت پول كالا می‌كند، در حالی كه كالایی دریافت نمی كنند. علاوه بر این، مؤسسه تعداد زیادی كارمند فعال پیدا می‌كند كه به طور مجانی برای فروش كالایش تبلیغ می‌كنند و كسانی فریب این آگهی را می‌خورند كه نمی‌توانند با محاسبه‌های عددی برای حمایت از منافع خود، در مقابل حقّه‌بازها دفاع كنند.
پسرم! فكر نمی‌كنی اگر كمی منتظر خرید دوچرخه بمانی ،بهتر است؟
نویسنده: صدیقه اسكندری راد
افسانه برج هانوی
ریشه این بازی در یک افسانه است:
در یک افسانه یونانی آمده است که در یکی از کلیساها، راهبه های کلیسا به کار عجیبی مشغول هستند. در آن کلیسا 3 ستون از جنس نقره وجود دارد که بر روی اولین ستون 64 صفحه گرد و از جنس طلا با قطر های مختلف قرارگرفته است و تمام این صفحه های گرد طوری چیده شده اند که صفحه زیرین از صفحه بالایی خود بزرگتر است.
ماموریت راهبه های کلیسا این است که تمام این 64 صفحه را باید به ستون دوم منتقل کنند و برای این انتقال یه شرط مهم گذاشته شده است:
هیچ وقت صفحه بزرگتر نباید روی صفحه کوچکتر قرار بگیرد.
آنها مامور این انتقال شده اند و هرگز از قانون نیز نباید تخطی کنند (نباید صفحه بزرگتر بر روی صفحه کوچکتر قرار بگیرد) البته آنها می توانند از ستون سوم به عنوان کمکی استفاده کنند.
در ابتدا شاید به نظر برسد که این کار بسیار آسان است ولی در افسانه آمده که این راهبه ها کار خود را از ابتدای آفرینش آغاز کرده اند و درست زمانی که کار آنها تمام شود زلزله ای بزرگ رخ خواهد داد و دنیا به آخر خواهد رسید!
عجیب ترین نکته این داستان این است که دانشمندان محاسبه کرده اند اگر قرار باشد کسی اینکار را انجام دهد و برای جابجا کردن هر صفحه فقط یک ثانیه وقت صرف کند نیاز به 5.5 بیلیون سال زمان دارد که این عدد بسیار نزدیک به عددی است که اخترشناسان برای عمر کره زمین تخمین زده اند.
ماجرای فرودگاه
يك شرکت هواپیمایی در آخرین لحظه ، پرواز را متوقف کرد! معلوم شده بود در بین 128 مسافر ، مرد مسلحی وجود دارد که می خواهد هواپیما را برباید. قرار شد مسافران هواپیما برای بازرسی فوری آماده شوند.
در سالن فرودگاه ، دستگاه کنترل کننده ی خاصی وجود داشت که وقتی مسافران از جلوي آن عبور می کردند، بدون هیچ اشتباهی مشخص می کرد که آیا مسافر یک شئ فلزی همراه خود دارد یا نه.
روشن است که می شد با بلندگو به همه ی مسافران اطلاع داد که هر چیز فلزی که در جیب یا ساک دستی خود دارند، بیرون بیاورند و به نوبت از جلوي دستگاه کنترل کننده عبور کنند. ولی وقت کم بود و به همین دليل نماینده ی شرکت هواپيمايي تصمیم گرفت به جای بازرسی انفرادی، مسافران را به صورت گروهی از جلوی چشم الکترونیک دستگاه كنترل بگذراند.
همه ی مسافران را در مقابل دستگاه به خط کردند و نماینده ی شرکت هواپيمايي مطمئن شد که یکی از مسافران ، مایل نیست یک شئ فلزی را از خود جدا کند. ولی کدام مسافر؟
روشن بود که دستگاه کنترل نمی توانست به این پرسش پاسخ بدهد. نماینده ی شرکت تصمیم گرفت مسافران را به گروه هایی تقسیم کند به نحوی که تا حد امکان از دستگاه کنترل، کم تر استفاده کند:
نماینده ی شرکت هواپیمایی ، مسافران را به 2 گروه مساوی تقسیم مي كند (در هر گروه 64 نفر) و از یکی از گروه ها خواهش مي كند در مقابل چشم الکترونیک دستگاه قرار بگیرند. اگر علامت خطر دستگاه روشن شد به معنای این است که مرد مسلح در میان همین گروه از مسافران است و در غير اين صورت به معنای آن است که فرد مسلح در میان 64 مسافری است که در "خارج دید" چشم الکترونیک دستگاه قرار دارند.
گروه 64 نفری مسافران را که فرد مسلح در میان آن ها است، به دو گروه مساوی (هر گروه 32 نفر ) تقسیم مي كند و از یکی از دو گروه خواهش می کند در مقابل دستگاه بایستند. در این جا هم شبیه حالت قبل مشخص می شود که فرد مسلح در میان کدام گروه قرار دارد.
اگر همین روش تقسیم ادامه پیدا کند، بعد از آزمایش ششم، دو نفر باقی می مانند که طبعا" یکی از آن ها مسلح است. اگر یکی از این دو نفر در برابر دستگاه قرار گیرد، یا چراغ خطر دستگاه روشن می شود یعنی خود او مسلح است و یا چراغ خطر خاموش می ماند، یعنی نفر باقی مانده مسلح است. به این ترتیب، حداكثر 7 آزمایش برای یافتن فرد مسلح لازم است.
اگر نماینده ی شرکت ، تقسیم به گروه ها را به ترتیب دیگری انجام دهد، ممکن است 7 آزمایش برای پیدا کردن فرد مسلح کافی نباشد. در واقع ، اگر مسافران را به دو گروه نامساوی تقسیم کند، ممکن است که معلوم شود فرد مسلح در میان افرادی است که گروه بزرگ تری را تشکیل می دهند.
مثلا" اگر در آزمایش ششم ، گروه چهار نفری را به دو زیر گروه 3 نفری و یک نفری تقسیم کند و معلوم شود که فرد مسلح در بین افراد زیر گروه 3 نفری است، آن وقت ، ممکن است با یک آزمایش بعدی نتوان فرد مسلح را پیدا کرد و با 7 آزمایش ، کار به پایان نرسد. همیشه تقسیم به دو گروه مساوی مناسب ترین راه است.
منبع:کتاب 175 مساله ی منطقی
ترجمه ی: استاد استادان پرویز شهریاری
داستان تصاعد در اعداد و شطرنج
می گویند پادشاهی فرمان داده بود هر کس برایش سرگرمی جذاب و مفرحی بیاورد هر چیزی بخواهد به او خواهد داد. شخصی بازی شطرنج را برای او می برد و پادشاه نیز راضی می شود و قرار می شود هر چه می خواهد به او پاداش بدهند ولی شخص درخواست عجیبی از پادشاه می کند. او می گوید من چیز زیادی نمی خواهم صفحه شطرنج 64 خانه است در خانه اول یک دانه گندم قرار بدهند و در خانه بعدی دو برابر خانه اول گندم قرار دهند و در خانه بعدی دو برابر خانه قبلی همینطور تا خانه آخر و همان مقدار گندم برای من کافی است.
پادشاه به او می گویید که تو می توانستی چیزی بیشتر از چند کیسه گندم در خواست کنی و او می گوید من به همین مقدار راضی هستم . پادشاه فکر می کند با عجب آدم ساده لوحی طرف است. دستور می دهد این مقدار گندم را محاسبه کنند و به شخص بدهند.
پس از چند روز مسئول انبار گندم خدمت پادشاه می رسد و گزارش می دهد که اگر تمام گندم های کل کشور را جمع کنیم و از همه کشور های همسایه هم قرض بگیریم حتی کفاف بخشی از گندم در خواستی را نمی دهد.
این مثال از عجایب یک تصاعد است که آن قدر بزرگ می شود حتی در ذهن انسان نیز نمی گنجد. جالب است بدانید امروزه محاسبه کرده اند برای اینکه مقدار گندم در خواستی آن شخص کم توقع تامین شود باید تمام سطح کره زمین اعم از خشکی ها و دریاها 5 بار زیر کشت برود.
اعداد دوستدار هم
هنگامی که از فیثاغورث پرسیده شد دوست کیست؟ جواب داد: "کسی که من دیگری است بدان گونه که 220 و 284 هستند."
مفهوم عبارت بالا از نظر ریاضی چنین است:
مقسوم علیه های 284 به غیر از خودش عبارت اند از:
1 2 4 71 142 که مجموع آن ها 220 است
و از طرف دیگر مقسوم علیه های 220 به غیر از خودش عبارت اند از:
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 که مجموع این ها هم برابر 284 است.
طرف داران فیثاغورث چنین عددهایی راعددهای دوست دار هم می نامیدند.
با این که کشف چنین عددهایی برای یونانی ها ساده نبود اما کار مورد علاقه ی آن ها بود. به هر حال کشف این گونه عددها پیشرفت زیادی نداشت . سه زوج دیگر از این عددها به قرار زیر می باشند:
17296 و 18416 که در سال 1636 میلادی توسط فرما شناسایی شد. (همان فرمای معروف که داستانش رو شنیدید)
و اعداد 9437056 و 9363584 که توسط دکارت ارائه گردید.
و بالاخره 1184 و 1210 که توسط پاگانینی در سال 1867 میلادی معرفی شد.
سوالی که تاکنون ذهن ریاضی دانان را به خود مشغول کرده، این است که آیا بی نهایت از این زوج ها وجود دارد یا خیر؟
البته هندی ها عددهای متحابه یا " دوست دار هم " را قبل از فیثاغورث شناخته بودند. هم چنین قسمت هایی از کتاب مقدس را می توان یافت که نشان می دهد یهودی ها چنین عددهایی را مبشر سعادت می دانستند.
منبع:http://www.forum.microrayaneh.com
تبادل
لینک هوشمند